Algèbre linéaire Exemples

$\frac{- 2 + \sqrt{8}}{- 3 - \sqrt{2}}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\frac{- 2 + \sqrt{4 (2)}}{- 3 - \sqrt{2}}$

Étape 1.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{- 2 + \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{- 3 - \sqrt{2}}$

Étape 1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{- 2 + 2 \sqrt{2}}{- 3 - \sqrt{2}}$

Étape 2

Multipliez $\frac{- 2 + 2 \sqrt{2}}{- 3 - \sqrt{2}}$ par $\frac{- 3 + \sqrt{2}}{- 3 + \sqrt{2}}$ .

$\frac{- 2 + 2 \sqrt{2}}{- 3 - \sqrt{2}} \cdot \frac{- 3 + \sqrt{2}}{- 3 + \sqrt{2}}$

Étape 3

Associez les fractions.

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{- 2 + 2 \sqrt{2}}{- 3 - \sqrt{2}}$ par $\frac{- 3 + \sqrt{2}}{- 3 + \sqrt{2}}$ .

$\frac{(- 2 + 2 \sqrt{2}) (- 3 + \sqrt{2})}{(- 3 - \sqrt{2}) (- 3 + \sqrt{2})}$

Étape 3.2

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{(- 2 + 2 \sqrt{2}) (- 3 + \sqrt{2})}{9 - 3 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 3.3

Simplifiez

$\frac{(- 2 + 2 \sqrt{2}) (- 3 + \sqrt{2})}{7}$

Étape 4

Développez $(- 2 + 2 \sqrt{2}) (- 3 + \sqrt{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 2 (- 3 + \sqrt{2}) + 2 \sqrt{2} (- 3 + \sqrt{2})}{7}$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 2 \cdot - 3 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} (- 3 + \sqrt{2})}{7}$

Étape 4.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 2 \cdot - 3 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} \cdot - 3 + 2 \sqrt{2} \sqrt{2}}{7}$

Étape 5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.1

Multipliez $- 2$ par $- 3$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} \cdot - 3 + 2 \sqrt{2} \sqrt{2}}{7}$

Étape 5.1.2

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{2} - 6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} \sqrt{2}}{7}$

Étape 5.1.3

Multipliez $2 \sqrt{2} \sqrt{2}$ .

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Étape 5.1.3.1

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{2} - 6 \sqrt{2} + 2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{7}$

Étape 5.1.3.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{2} - 6 \sqrt{2} + 2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{7}$

Étape 5.1.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{6 - 2 \sqrt{2} - 6 \sqrt{2} + 2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{7}$

Étape 5.1.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{2} - 6 \sqrt{2} + 2 {\sqrt{2}}^{2}}{7}$

Étape 5.1.4

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 5.1.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{2} - 6 \sqrt{2} + 2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{7}$

Étape 5.1.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{2} - 6 \sqrt{2} + 2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{7}$

Étape 5.1.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{2} - 6 \sqrt{2} + 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{7}$

Étape 5.1.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.1.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 - 2 \sqrt{2} - 6 \sqrt{2} + 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{7}$

Étape 5.1.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{6 - 2 \sqrt{2} - 6 \sqrt{2} + 2 \cdot 2^{1}}{7}$

Étape 5.1.4.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{6 - 2 \sqrt{2} - 6 \sqrt{2} + 2 \cdot 2}{7}$

Étape 5.1.5

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{2} - 6 \sqrt{2} + 4}{7}$

Étape 5.2

Additionnez $6$ et $4$ .

$\frac{10 - 2 \sqrt{2} - 6 \sqrt{2}}{7}$

Étape 5.3

Soustrayez $6 \sqrt{2}$ de $- 2 \sqrt{2}$ .

$\frac{10 - 8 \sqrt{2}}{7}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{10 - 8 \sqrt{2}}{7}$

Forme décimale :

$- 0.18767264 \dots$